数字图像处理笔记（六）

频率域滤波

• 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
• 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
• 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
• 一旦找到一个特殊应用地滤波器，通常在空间域采用硬件实现它

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傅里叶变换地频率分量和图像空间特征之间地联系：

• 变化最慢地频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级 $$F(0,0)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)=\overline{f}(x,y)$$
• 当从变换的原点移开时，低频对应着图像的慢变化分量,如图像的平滑部分
• 进一步离开原点时,较高的频率对应图像中变化越来越快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐部分

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频率域的滤波步骤

1. 用$(-1)^{x+y}$乘以输入图像进行中心变换 $$f(x,y)(-1)^{x+y}\Leftrightarrow F(\mu-M/2,v-N/2)$$
2. 计算1中的DFT $F(\mu.v)$
3. 用滤波器函数$H(\mu.v)$乘以$F(\mu,v)$
4. 计算3中结果的反DFT
5. 得到4中结果的实部
6. 用$(-1)^{x+y}$乘以5中的结果，取消输入图像的乘数

频率域滤波$G(\mu,v)=H(\mu,v)F(\mu,v)$

• H和F的相乘在逐元素的基础上定义，即H得第一个元素乘以F的第一个元素，H的第二个元素乘以F的第二个元素。
• 一般，F的元素为复数,H的元素为实数
• H为0相移滤波器,因为滤波器不改变变换的相位,F中实部和虚部的乘数(H)可以抵消相角$\phi(\mu,v)=arctan[\frac{I(\mu,v)}{R(\mu,v)}]$

频率域滤波的基本步骤

思想:通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换，然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像

一些基本的滤波器

1. 陷波滤波器
2. 低通(平滑)滤波器
3. 高通(锐化)滤波器

   陷波滤波器

   $$H(\mu,v)= \begin{cases} 0 \ \ \ \ (\mu,v)=(M/2,N/2)\\ 1 \ \ \ \ 其它 \end{cases}$$

• 设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为0)，而保留其他傅里叶变换的频率成分不变
• 除了原点处有凹陷外,其他均是常量函数
• 由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低
• 由于识别由特定的、局部化频域成分引起的空间图像效果
  
  由于图像平均值为 0而产生整体平均灰度的降低

  低通滤波器

  使低频通过而使高频衰减的滤波器
• 被低通滤波的图像比原始图像少尖锐的细节部分而突出平滑过渡部分
• 对比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器

  高通滤波器

  使高频通过而使低频衰减的滤波器
• 被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑过渡而突出边缘等细节部分
• 对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子